kotonekoさん、こんちにわ。
寒い気温で登山すると鼻水が止まらないのは私もです。
コレは生理学的には止めるのは無理かと思います。
夏は皆無ですが涼しい秋口から始まりますね〜厳冬期は最悪、、、
なんで、、
ポッケに厚めハンカチや掌サイズハンドタオルを忍ばせてます。
それゆえに必ずヤマにはハンドタオルは欠かせません。
で、ハナタレになると拭き取る→繰り返し→
ですね。下山後はすぐクリームなど鼻下に塗ってケア。
昔はいちいちティッシュに鼻かんでましたがゴミがキリ無いですしね。
あまり参考になりませんで済みません。
こんど花粉症薬など試そうかと思います。

kotonekoさんはじめまして。
ぜーんぜん回答になってないし気温関係ないのでkotonekoさんとは違う症状だと思うのですが、自分はどうやらハイマツでアレルギーが出るみたいです。
花粉症のように水っぽい鼻水がツーーっと出るんですが、だいたいそういった時ってハイマツの匂いがしているんです。
あとnonkibouさんが言われているような症状も出ます。
先日谷川岳に行った時は寒くもないしハイマツも無いのにずっと水っ洟に悩まされました。
ちょっときったないですが、ザックにお祭りで貰った手ぬぐいぶら下げて汗と一緒に拭いちゃいます。

kotonekoさん、こんばんは。
医学的な疾患名は血管運動性鼻炎（けっかんうんどうせいびえん）と言います。
人は誰でも罹るのでは。
鼻や口からは空気を体内に入れる機能が備わっていますが、可能な限りその空気を体温に近い温度にしてから肺に送ります。その役目（機能）をするのが、鼻水です。
焼岳でなくても、外気温が0℃でしたら、それに湿気を与えて体温に近い状態（温度）にします。その時に毛細血管が開き血液の流れを活発化させて、鼻水の分泌も促進されて、ポタポタと鼻水が出ます。
登山中にマスクをする事により、少しはその様な症状が楽になりますが、息苦しくなります。
＞ネックウォーマーを鼻まですれば大丈夫なのかな？？
＊そうですね、少しでも体温に近づける事は可能ですね。
サコッシュ内にポケットティッシュを忍ばせる方もいますが。投薬治療では、副腎皮質ホルモンや抗ヒスタミン剤の点鼻薬や抗ヒスタミン薬や漢方薬などの内服薬等がありますが、気になるようでしたら、kuutarouさんも回答している様に、専門医（耳鼻咽喉科）で診てもらうのもよいかも。

はじめまして、kuutarouと申します。
すみません、明確な回答はありません。
ただ、私自身はアレルギー家系で、私はアレルギー性鼻炎持ちです。

感想的な事を書きます。
医者でもないのでご参考まで。

気温が低くなる＝鼻水が出る
というのは、当然万人に出る症状ではないと思われます。

０度程度で鼻が痛く、皮がめくれるのも万人の症状ではないすよね。
私の住んでいる東京八王子では冬は普通に氷点下ですし・・。
ちなみに気温が一度でも風が１ｍ吹けば体感気温は１℃下がりますので、
風速の影響も考えるべきではあります。

鼻水が出る事自体は、風邪でもないのに出るならば
アレルギー反応の一つのような気がします。
アレルギー反応は人それぞれ、千差万別です。

原因は花粉、埃、動物の毛などは元より、お酒の飲みすぎとか、
人により沢山あるようですが、登山関係なく気温による鼻水が
出やすい状況はないでしょうか、そうなら気温プラス風による
影響で、鼻水の反応があるのかも知れない？と感じます。

耳鼻咽喉科で相談してみるのも一つです。

以上、感じたままの参考情報です。

失礼します