以下ご質問の趣旨には合わないかも知れませんが．．．
登山届の使われ方としては警察なり消防などの救助隊が、入山して遭難したと思われる人のルート、持っている装備などの情報を得るよりは、
その登山ポストに入っている他の計画書の入山日やルートなどから該当の遭難者に出会った可能性のある登山者を選りだして、電話その他の手段で「このような人を見かけませんでしたか」などと情報を得るために使われることがよくあるようです。

自分も甲斐駒ケ岳から帰って翌々日に携帯電話に警察の地域課から電話があり、日付と山域と「○○歳くらい、男性で大柄180センチくらい」の特徴から目撃情報を聞かれた経験があります。
その時はずいぶんゆっくり歩いている人だなと印象に残った人でよく覚えていたので、出会った付近のデジカメ写真の撮影時刻から「○○時△△分頃、どこそこ（ピンポイント）で山頂に向かっているところを会いました。」と服装や疲れた様子だったことなども添えて正確な情報を提供することができました。
残念ながらその方は生還されませんでしたが、登山届の有効な使われかたを実感しました。
この場合の使われ方からは、下山してもそのままが良いように思います。
自分が遭難した場合は自分が行方不明になっていることが誰かに分からなければ捜索の引き金が引かれないので、ポストに入れただけではそれが生きる可能性は低いと思います。
ポストやインターネットでの計画書提出だけでなく、近しい人に計画を伝えておくことが肝要と思います。自分も夫婦二人暮らしですので二人だけで山へ行く時は山仲間か子供に計画を伝え、下山したら必ず下山メールをするように心がけています。

私はフルネーム、自宅、自分・家族の携帯、保険の番号まで書いているので（って普通かな）
登山口とピストンで下山した場合、手が突っ込めるスペースあったら回収しちゃってます。
他の方のコメントにもありますが、事故連絡があって初めて開けて探す様なので、基本はそのままでＯＫですよね。
ちなみにあまりメジャーなルートを行ったことがなかったので、下山届出すところは３か所位しかありませんｗ

登山口のポスト（箱）の管理者は、自治体、各都道府県警、最寄りの山小屋や登山関連施設、地元山岳会などさまざまですが、基本的に入れた登山届はそのままで良いと思います。（たまに「下山届」の提出が必要な場合がありますが。」）

ただし、そのポストがちゃんと管理されているかどうか、最寄りの山小屋等に聞いてみたり、ポストの見た目で判断する必要があるでしょう。

管理者がいる登山ポストは定期的に登山届の回収・処理（処分？）が行われていますが、マイナーな山だとポストが放置され、何年も前の登山届が平気でポストに入っていることもあります。

そしてほかの方も回答されているように、ポストに入れられた登山届の「内容」が確認されるのは基本的に「その山域に遭難者がいるとわかったとき」です。

すなわち、登山届をポストに入れていたとしても、万が一遭難したときに第三者がそれに気付く術がなければ、警察も動かずポストの登山届も役立てられない、ということが起こりえます。

ですので、登山口のポストを活用する前提として、「自分が遭難したときに第三者が気付くことができる」ような方法を考えておく必要があります。（個人的にはポストを活用するより身近な第三者に登山届を渡すほうが有効だと考えています。）

北アではそのまま入れていました。
聞いたとこですと、遭難の知らせがあって初めて警察等が登山届のポストを開けるらしいので、しっかりと住所や連絡先を記入しています。
ごく稀に個人情報云々を語る人がいますが、このご時世、名前、住所、電話番号くらいは漏れていると思っていますので、割り切っています

現在、北海道在住。
こちらの登山ポストは記入式で、中には名前は姓だけ、住所は市まで、しか記入しない人がいますが、遭難の時に特定できるのかどうか不安になります。
自分はフルネーム、住所もすべて記入しています。
全ては命優先で（笑）。

いれたままでいいと思います。前までは下山届なるものも出していたこともあるようですが最近は省略がほとんどです。ちなみに私は、入山届は管轄の県警(県をまたがる場合はまたがった県すべて)にネットで前もって提出し、登山道入口にポストがある場合はそこへも入れ、入口に無い場合は一番近くの山小屋で提出しています。