府中からだと奥多摩か高尾山はアクセスが便利ですね。
バスケットされてるようなので体力に自身あればもうちょっと奥多摩の「鷹ノ巣山」とか「川苔山」あたり、富士山が見えるところとか、低山では「高水三山」なんかもいいかも、と。

大山がいいと思います！
ヤビツ峠からのコースで。

アクセスがちょっと大変かもしれませんが、山深いぶん、自然の中にいる感じは実感できるかなと。
片道小1時間もあれば登れますし、気軽に最初にはいいのではないかと思います！

山頂に食事処もありますしね。
帰りはロープウェイを使うのも良いかもです。

今晩は。
府中にお住まいでしたら、奥多摩界隈・高尾山辺りが
宜しいかと思います。
奥多摩だと御嶽山の駅から、御嶽山・日ノ出山コースが
一番ポピュラーですので毎週でも出かけられます。
高尾山だと、７号路か６号路を登り高尾山頂上まで行き
下りは、４号路・１号路その他に小仏峠・景信山・陣馬
コースと色々あるので体力に合わせて設定出来ます。
２０００メートル辺りの山だと結構雪が残っているかも
知れません、それ以上の山だと冬支度です。
また日帰りは厳しいかも。
ザックは３０リッタ位がおすすめです。
取敢えずポピュラーな山で、ザックのパッキングとか
歩き方・休憩の方法等勉強して下さい。
山登りに王道は無いような気がします。
末永く山を楽しんで下さい。