はじめまして。

靴が、足に合っていないのでしょうね。
私も、幾度も下山時に、爪を痛めました。
下山時につま先が当たるのは、靴が小さいと思います。
登りで、踵が痛むのは靴が小さいか、踵のホールドが悪く擦れるからと、思います。

ですから、選ぶときは、インソールを取り出し自分の足を乗せて、つま先の余裕をチェックすることと、靴を履いてお店にある、坂(おそらく何処のお店でもあるかと)
で踵のおさまり具合をチェックすること。

つま先に余裕を持つと、サイズが大きくなり、踵が動きやすくなる傾向がありますが、つま先の余裕、踵のおさまり具合の両方を得られる相性の良い靴を探すしかないです。
参考になるホームページです。

http://mikiyatsu.jp/page009.html

相性の良い靴にめぐり合われますように。

私もそのような経験があり6足ほど履き替えてますが
結論から言いますと靴が足に合ってなかっただけでした。
インソール・靴下・紐などで多少は緩和されるかもしれませんが、それを試している間に爪が1枚はげ、2枚はげとなることもあるので注意が必要です。
何より爪にダメージがいかないように自然と変な歩き方になるのが一番危険で厄介です。
お財布に余裕があればなるべく早めに違うメーカーやモデルを試してみるのが良いと思います。
今は登山に人気があるので靴も合わなければヤフーオークションなどで高く売却でき、損は少なく済むと思います。
私は6足めで奇跡的に足に会う靴に出会いました。
その靴ではスーツに履く靴下で登山をしても靴擦れも爪が当たることも皆無です（他5足は全部駄目でした）。
靴を購入するお店を変えるのも良いかもしれません。

初心者の者ですが、自分が効果があったのはインソールです。
土踏まずのアーチが伸びないことと、靴内でづれが軽減できるのではないでしょうか？
解決するといいですね。

私も、AKUのマウンテンブーツ(3季用)を履き、北アルプスを何度となく登っていますが、やはり長時間の下山は爪がやられる事が多々あります。（私の場合は小指）

そこで、私はこの頃トレランシューズで登山を楽しんでいます。

トレランシューズは登山靴より、ガチガチに作られておらず、柔軟性・伸縮性があり快適です。そのお蔭で、トレランシューズに変えてから、爪がやられることはなく、山旅を楽しんでいます。（北アルプスでの岩場・ガレ場、また下山も何ら問題ありません！）

また、トレランシューズもゴアテックス仕様があるので調べてみてはどうでしょうか？
かなり楽ですよ…軽いトレランシューズは！

補足：トレランシューズも登山靴同様に、0.5ｃｍから1ｃｍ大きめのサイズでOKです。

靴紐はしっかり締めていらっしゃるのでしょうか？
下りで指が当たるというのは靴の中で足が前方に動いているからだと思います。

紐を締めるときに、足首を底屈して（足関節をつま先方向に伸ばす）締めると足首が固定され中で前にズレなくなると思いますが、一度試してみてください。

登りでのかかとの痛みも、かかとが浮いて当たるのかもしれませんので、上記方法で足首を固定すれば浮かなくなると思います。