初めまして。

都内にご引越しなら奥多摩・高尾周辺の山が第一候補だと思います。
多摩川右岸にある、大岳山・御前山・三頭山辺りが登り2時間ちょい、標高差1000は無い山です。この三山は奥多摩三山と呼ばれおり、また縦走も出来ます。縦走部分は有名なトレラン大会（通称ハセツネ）のコースです。

これに満足しなければ、多摩川左岸にある雲取山・七つ石山・鷹ノ巣山もいい所です。標高差1500ぐらいあり、上りに3〜4時間程度です。

都内の山のイイ所はすべての山が繋がっていることと、公共交通機関がそこそこ便利という所でしょうか？

車があれば山梨百名山という選択もありますよ。

丹沢山塊の塔の岳はお勧めです。
小田急線で新宿から約60分で渋沢駅下車、バスで約30分で登山口のある大倉バス停に着きます。塔の岳山頂迄はコースタイム3時間で、きついバカ尾根を登りきればご褒美に富士山がドーンと出迎えてくれます。

茨城県でしたら筑波山は如何でしょうか？
秋葉原から45分でつくば駅、駅からバスで40分ほどで登山口となります
「筑波連山縦走のみち」もございます