はじめまして。
運動時サポートウエアは就寝時には脱がれるのは皆さんの回答と同じです。
就寝時に着用するリラックスウエアは別にありますよ。
VENEXという商品です。
ジムでオススメしていました。

私も山登りをするときにCW-Xのタイツを履くときがありますが、効果のほどはあまりよく分かりません。
ちくちく感の原因はタイツにできたシワの場合もあります。

○　自分に合ったサイズのタイツを使用する。
○　着用時にサポートラインを筋肉や関節の位置に合わせて正しく着用する。
○　着用時に大腿部のシワを取るためにシャカシャカをする。
○　使用中にタイツが自然と下がってくるためにはやはりシワができてしまうので、
　　時々、シャカシャカをするとよいです。

シャカシャカをするとタイツがフィットして違和感がなくなります。
シャカシャカについてはこちらを参考にされるとわかりやすいです。
http://news.livedoor.com/article/detail/8495355/

一般論としては、圧迫系のタイツ（に限らず、サポーターなど締め付けるような作用をする装具）を就寝時に使用することはお勧めできないと思います。
言うまでもなく、異常に気付くことができないからです。
また、下半身を締めると、やり方によっては血圧が上がることもあります。そうすると身体状況次第では危険ですらあります。
実際、C3fitの注意書きにも、次のような記述があります。

〔以下引用〕
就寝時には、着用しないでください。立位姿勢をもとに設計されています。臥位では静脈圧が低下して、相対的に着圧（弾性ゲイターまたは弾性タイツによる圧迫）が強くなります。また寝ているときのずり下がりなどによるシワが原因で、足がしびれたり、痛んだりする恐れがあります。
〔引用以上〕

目覚めているときに使うのであれば、異常がない限り、運動後でも休憩中でも、お好みで使うのは構わないと思います。

痒みやチクチクですが、いろいろ原因は考えられますが、多数例としては『アレルギー』『蒸れ』『繊維自体の物理的なチクチク』が考えられます。

まず、新品を初めて装着し、運動を始める前でも、症状が出ますでしょうか？
もしYesだとすれば、アレルギー又は繊維（材質）そのものの問題である可能性があります。
これはもう製品を変えるしかありません。

ともかくこの３つの原因のうち、使い方の工夫で対処できるのは『蒸れ』のみです。
つまり、装着する時間を短くするとか、こまめに脱いで通気や汗拭きを図るなどの、よく言われる蒸れ対策がやはり王道かと思います。
ベビーパウダーが良いという声もよく聞きますが、これも厚塗りすると汗を吸ったパウダー粉末が皮膚に貼りついたままの状態になるので、使用上の注意をよく読んで塗り過ぎないことと、やはりこまめな通気と汗拭きは欠かせないと思います。