基本的には平地や緩斜面では交互に出す。大きな段差や急斜面では同時に出す。

積雪期のトレッキングにスノーバスケットは不必要と言う結論に達しました。新雪なら効果が無く破損のリスクが高いだけ。圧雪されてるスキー場には適している。

交互に出すか、両方出すかは、その時の条件によります。

また、状況により、１本使いも必要です。１本、２本のいずれでも、使えなければ、ポールの使い方ができていません。
（雪山であれば、ピッケルを持つ場合もあるし、ストック+ピッケルという状況も当然、有り得ます。）

スノーバスケットは、不要です。もし、もぐって使い物にならないのであれば、まともにスノーシューできない状況です。

スノーシューに快適な状況であれば、スノーバスケットは、まったく必要ありません。（もちろん、思い切り突き刺すとか、まちがった使い方をしない前提です。）

ハードなラッセルが好きな方は、ご自由にと思いますが。

どちらも正しいでしょう
オリンピック選手などは両方を出しをします パワーが出ます

夏も冬も使っています。
雪山でも使い方は夏と同じで、左右別々に交互に出すのが基本だと思います。
ただし、左右のポールが同時に地面に付いている時間があり、それが緩斜面では短く、急斜面では長くなります。従って急斜面では左右同時に突き出しているように見えるかも知れません。
要はポールを使った三点支持。
左右同時に前に出す方法は例外的な動作で、それを続けていれば、ばててしまうのではないでしょうか。

ane-moneさんはじめまして。
私も夏山ではトレッキングポールは使いません。雪山も今シーズン始めたばかりなので参考になるか分かりませんが、私の場合富士見台高原という雪山ではなくスノーハイクと木曽駒ヶ岳がメインとなります。
富士見台では傾斜はほとんどなく、バランスを取る程度にポールを左右に使います。木曽駒では八丁坂等の急勾配等で左右同時にポールを使ってます。
特に使い分けていると言うより、傾斜がきつくなったり大きな段差など負荷がかかる時は自然とポールが左右同時に動いてます。
私はかんじきを使うときはポールを使ってますが、Gonta_kunもおっしゃるように状況に応じて必要なら使い、不要なら畳んでザックに仕舞えばいいのではないでしょうか。

一般的には平地の歩行時には左右交互の方が、また、ラッセルしたり、大きな段差を超える時などに左右同時に前後に操作したりする方が多いと思いますし、私もそんな感じです。　『バランスが取り易く、バランスを崩した時にリカバリし易く、使った方が便利』だったら、どの様に使おうが、どうでも良い事だと思っています。
例えば、スノーシューやツボ足などで沈み込み難くて滑り難い平地を歩く時は、使用しない方が歩き易いし早く歩けるとか撮影し易いとかメリットが多いと感じているので私は使っていません。　ですので、『雪山では必要』と書かれていますが、私の場合、状況に応じて必要なら使う物と思っています。

--追記--
ご存知かも知れませんが、トレッキングポールの先に直径5cm程度のバスケットが付いている場合、それは、無雪期用の物です。　雪山(特に新雪)では潜ってしまってほとんど役立ちません。　ということで、直径10cm以上程度のバスケット(スノーバスケットとか新雪用バスケットなどの商品名)に交換していく事を強くお勧めします。　バスケットは、メーカー/商品専用の物が主流で、異なるメーカ/商品だと取付出来ない場合が多いので、購入の前に適合するかを良く調べて、または、ショップやメーカの方に尋ねて下さい。