スマホにGPS搭載でしたら問題なく使用できます。
一台は電話契約なしで購入しましたらガーミンを使わないことが多くなりました。
使用したい地域の地図をwifi環境内でダウンロードすれば電話契約には関係ありません。　もちろん山奥で目的地が違って地図の範囲外の場合は地図はなくなりますがGPSの軌跡は作動していますので軌跡を閲覧すれば往復の場合でも安心して使用できます。

アプリに位置情報の権限をONにしておけば、ログの記録は可能です。
おっしゃる通り、地図はあらかじめダウンロードしておく必要があります。なお、地図のダウンロード範囲外でもログは記録されます（白紙の地図上で矢印が動いてます）。
他の地図アプリ（例えば地図ロイド）で広範囲に地図をダウンロードしておけば、万が一ヤマレコの地図範囲外に出ても現在地の把握はできます。
（ヤマレコアプリでルート範囲外に広く地図をダウンロードしておくのは、現実的で無いと勝手に思ってます。例えば唐松岳に行くのに、北信エリア全域の地図のダウンロードとか）