自分もTrex-3を利用しています。
●ルート作成はスマホでヤマレコより作成して転送していますが、登山終了後にヤマレコにデータが反映されません。
→Trex-3とスマホのヤマレコアプリは連動や連携をしているわけではないので、ヤマレコアプリにデーターは反映されません。Trex-3はZeppアプリのみ連携しているようです。
Zeppアプリで運動記録をGPXファイルとして保存できるので、そのGPXファイルをヤマレコアプリでインポートして、ヤマレコの記録に反映可能なことは確認済みです。

●またスマホで登山開始して歩くのですが、途中でログが止まってしまう不具合も生じています。
→スマホの機種、設定によってはログ停止の質問箱がありますので、そちらを参考したらいかがでしょうか。