こんにちは。
お書きになった操作方法を私も試しにやってみたところ、たしかにiPhoneのアプリからのシェアではインスタの「投稿」でも「メッセージ」でも写真としてしか送れませんね。
また、もともとインスタグラム側の仕様として、投稿のキャプションにURLを記載してもただの文字列として表示されるだけで、リンクとしては機能しません。
一方、PCのブラウザでインスタに入り、「メッセージ」を使ってURLを共有することは可能でした。この場合はリンクとしても機能します。
ですので、ご質問の「スマホのヤマレコ山行記録のリンクをインスタグラムから送信」することをiPhone上で実現するのは難しく、インスタグラムユーザーの方に記録を共有するためには、URLをPC上でブラウザを使って開いたインスタグラムのメッセージで送る、ということになりそうです。

ヤマレコアプリを起動
→下にあるメニューからマイぺージを開く
→右上の「・・・」をタップ
→他のアプリで共有
→「リンクを共有中」とでたらhttps://www.yamareco.com/yamareco〜〜
のURLのそばに四角が重なったようなアイコンがあるのでそれをタップ

でリンクURLがコピーできますよ(^^)/