各地には遭難対策協議会があるはずなので荷物の回収を依頼することは可能かと思います
民間組織で有償になると思います
遭難では3~5万円/1人かかります

大変な目に遭われましたね。救助される迄は荷物なんかには気が回らなかった事と想像致します。
命が助かり、落ち着いて来ると荷物が気になるのも当然かと思います。
しかし、肝心の置いてきた場所がそう簡単に訪問できない場所。中々大変ですね。

一つ質問なのですが、警察に遺失物の届け出はされましたか？
経緯を聞く限り、正確には遺失物ではなさそうですが、避難小屋で荷物を見かけた方にとっては”誰かの遺失物”と映るのではと思います。
誰かが回収し、警察に拾得物として届けている可能性もあるかと思います。
もっとも、登山口からそれなりに距離のある避難小屋ですし、荷物の量も多そうです。通りがかった登山者が（自分の荷物に加え）その荷物を持って下まで降ろすのはちょっと難しいかな…とも思います。

私は以前、残置ザックを見かけた事がありますが、それはそれは気持ちの悪い物でした。別に荷物自体が気持ち悪いのではありません。何故それがそこに存在するのか、持ち主はどうなってしまったのか、何故放置されたままなのか…等々考えると悪い方向にしか想像が働かないのです。
ザック等の中身の確認は訪れた人によってされているかと思いますが、恐らく（高い確率で）その場に置かれたままな気がします。
（ちなみに私は残置ザックを見つけた時、中身の確認はしました。持ち主の特定が出来そうな物は残念ながら入っていなかった為、元に戻してその場に置いてきました。）
非業の死を遂げた人の持ち物を、元の持ち主の意に反した手段で持ち帰ろうなどと、私には考えられません。呪われそうではありませんか。私は呪いやその類は信じてはいないのですが、ふとそう考えてしまいます。

話がそれてしまいました。
荷物の回収は難易度が高そうです。ここに”落とし物”カテで回収をお願いするのも有りかと思います。全てを一括で…というのは難しいと思いますので”一部分でも良いので”とすればハードルは下がりそうです。
ただ、読む人によっては他力本願で身勝手に感じてしまい、批判の対象になりかねないのが少々怖いですね。そもそも雲をつかむような話ですし…。

まずは遭難されるも救助されお怪我はあるも助かり幸いです。

率直に申し上げると荷物を回収するならまずは御自身で回収が基本でしょう。
質問文をお読みするとそれは無理そう…なら誰かを雇って回収となりますが、便利屋等では厳しい依頼かと。

そもそも一見さんな方に頼んでも不安要素がかなり大きい。
世知辛い世の中なので行ってないのに無かったです等も言えますので。
となると家族や親戚等で信頼出来る方に依頼…少なくとも交通費と謝礼は支払うでしょうか。

あと果たして荷物があるかどうか？
登山者の中にも悪い人は存在するので盗られている可能性も高いのでは？

大変でしたね。
まず思い浮かぶのは、奥長倉避難小屋を管理しているのは
石川県白山自然保護センター（tel:0762555321）なので、こちらに相談してみるとよいかもしれません。
定期的な設備点検の際に残留放置物を下ろしている可能性がありますし、次回点検時に確認いただけるかもしれません。
登山者が好意で忘れ物として届けた場合にも、こちらに届く可能性が高いと思います。

ただし１ヶ月経っている場合は、持ち去り等でなくなっている可能性も相当あります。
よって、情報がないままの再訪問はあまりおすすめしません。
ここで最近、奥長倉避難小屋に訪問された方から情報があるかもしれません。