すでに試されている通り「山リスト」の「山名」の「達成」をマークしても、別のリストにある同じ山はマークされません。
この鬱陶しさをなくすのは、「登った山を追加」するという方法があります。
FAQ：山行記録の「登った山／行った場所」欄に山を追加したい
https://www.yamareco.com/guide/faq/rec_addpeak/
・山名検索に一致する
・山の地名ページの山行記録一覧に載る
・山リストが”達成”になる
という効果があります。

たかやま さんが案内されているとおり山行記録を作成した上で、「登った山を追加」することで、登った山リストに自動で追加されていきます。
少し手間ですが、お試しあれ。

単純に「登ったよ」とチェックしたいだけなら、
アプリ版でもweb版でも、ぼっちやまさんご指摘どおり、自分が過去に登った山が掲載されている「山リスト」を開いてうえで、達成マークの部分を開くと「この山に登ったことにしますか？」と出ますので、登ったことにすれば、「登ったよ」とチェックができます。
一応、アプリ版のガイドを貼り付けますが、web版でも要領は同じです。
https://www.yamareco.com/guide/guide_android/mtlist/

また、GPXログがあったり、ログがなくとも、過去の自分のルートや日付が明らかなら、たかやまさんのご指摘の通り、山行記録を作成のうえ、「登ったよ」とチェックされます。

『山のリスト』はそのリストに選定された山以外は掲載されていません。
山名がある山なら、「ヤマレコの使い方ガイド」⇒「山行記録の書き方」にある通り、最低限 必須項目(五項目)のみ書いてアップすれば、yoshiさんの山行記録のページと、ヤマレコのその山のページに掲載されます。
https://www.yamareco.com/guide/guide_web/record/step1/

時系列で掲載されますので、何年も前のレコはユーザーに読まれることは期待できません。
山名が不明の山なら山名に代わるタイトルを記せばいいと思います。

失礼いたしますm(_ _)m

【山のデータ→山のリスト】を活用するのはいかがでしょうか？
リストに登録されているものだけになりますが…