iPhone5sは2013年発売なので、もう5年前の機種ですが最新のiOS11.2.1もインストールでき、指紋認証も（精度はイマイチですが）使えます。

サイズ的にも登山で使うのにちょうどよく、スペック的にもまだ現役です。

iPhoneはGPS精度が非常に高く、谷でもちゃんと測位します。トラブルも少ないのでスマホ初心者にもいいんじゃないでしょうか。iPhone5sでも十分高精度です。

中古価格はDocomo版の32GBで15,000円程度ですからかなりお買い得だと思います。64GBだと16,000円くらいですかね。

iPhoneシリーズは寒さに弱いので嫌だというのであれば、XPERIA Z5なんかいいと思います。Z5 Compactを持っていますが寒さに強くバッテリー容量も大きいので冬山でも十分使えます。1時間冷凍庫に入れても問題なく動作しました。

2018年12月現在中古で1万〜1万5千円程度です。

中古のスマホは外観の傷み具合は書いてありますが、バッテリーの劣化具合はよくわかりません。

私はiPhoneなら『バッテリー・ライフ』というアプリでチェックしています。私が持っているiPhone5sのバッテリー劣化度は10%で、90%の容量が残っています。

4年前のスマホでこれくらい残っていれば上出来だと思います。劣化具合は外からでは分からないので、買う時にチェックさせてもらえればいいのですが、無理なら運次第です。

リチウムイオン電池は満充電の状態が長く続くと劣化しやすいそうです。充電しっぱなしで寝ちゃうとか、職場で充電しっぱなしとか、そういう『バッテリー寿命を短くする使い方』はよくありません。

前のオーナーがバッテリーに優しい使い方（80%くらいで充電をやめる）をしていればいいのですが、そういう人はほとんどいないのでバッテリーの劣化について、中古スマホは期待できません。交換を前提に考えてください。

もしバッテリーの劣化が激しくて交換が必要な場合、修理業者に頼むと6,000円くらいします。

または、パーツを買って自分で交換することも可能です（自己責任ですけど）。

交換キットを買って自分で交換すればパーツ代の2,000円程度で済みます。

ヤマレコMapを使ってもいいんじゃないでしょうか。

欲を言えばモバイルバッテリーも欲しいところです。予算はちょっとオーバーしますが汎用的に使える10,000mAhのを買うとよいでしょう。

もし回線契約が必要なら格安SIMがいいでしょう。

データ通信専用なら月に1,000円弱です。もちろん家のWi-Fiで使えればいいってことなら回線契約は要りません。登山アプリの地図は家でダウンロードすればいいので。

合計すると、
iPhone5s　32GB Docomo版　中古 15,000円
防水ケース　2,000円
ストラップやタッチペン 1,000円
交換用バッテリーキット 2,000円
登山用アプリ　無料
回線契約は無し

合計　20,000円

モバイルバッテリー（2,500円）も買うと、

合計　22,500円となって予算オーバーです。でもモバイルバッテリーを持っていなければ買うことをお勧めします。

モバイルバッテリーを持ってるなら2万円以内ってことで、いかがでしょうか！

Androidスマホでよければ、上記リンク先に書いてあるとおり、安くて高性能なスマホを見つけました。堅牢性が高くGPS精度もそこそこ良いので登山用に向いていると思います。